Μηδέν – Η “μαύρη τρύπα” του πολλαπλασιασμού

Έχετε αναρωτηθεί ποτέ γιατί  α·0=0, για κάθε πραγματικό αριθμό α; Δηλαδή γιατί κανένας αριθμός δεν μπορεί να του “ξεφύγει” αν πολλαπλασιαστεί μαζί του;

Για να απαντηθεί αυτό το ερώτημα αρκούν τα μαθηματικά που έχουμε διδαχθεί στο Γυμνάσιο. Θα χρειαστούμε τα εξής  “συστατικά”:

• προσεταιριστική ιδιότητα  (α+β)+γ=α+(β+γ)
• επιμεριστική ιδιότητα  α(β+γ)=αβ+αγ
• άθροισμα αντίθετων αριθμών  α+(-α)=0
• ουδέτερο στοιχείο πρόσθεσης  α+0=α
• Αν α=β, τότε α+γ=β+γ

Ας ξεκινήσουμε:

(1)      α·0=α·0

 (2)    α·(0+0)=α·0   

      (3)      α·0+α·0=α·0

(4)    (α·0+α·0)+(-α·0)=α·0+(-α·0)

(5)    α·0+[α·0+(-α·0)]=0

(6)     α·0+0=0

(7)     α·0=0

Λίγα λόγια για την αλληλουχία των βημάτων της απόδειξης:

1. Ξεκινάμε με την προφανή ισότητα.
2. Γράφουμε το μηδέν στο αριστερό μέλος ως 0+0.
3. Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα.
4. Προσθέτουμε και στα δύο μέλη τον αντίθετο αριθμό του α·0.
5. Εφαρμόζουμε την προσεταιριστική ιδιότητα και ότι το άθροισμα αντίθετων αριθμών ισούται με μηδέν.
6. Το άθροισμα αντίθετων αριθμών ισούται με μηδέν.
7. Το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.

Εξαιτίας αυτής της πολλαπλασιαστικής “ικανότητας” του μηδενός μπορούμε να το παρομοιάσουμε  με τις μαύρες τρύπες του σύμπαντος και να το χρίσουμε ως “μαύρη τρύπα” του πολλαπλασιασμού.

 

Μιχάλης Β. Γιάνναρος